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這條線或許是一個線段，稱作「開弦」（open string），或是一個迴圈，稱作「閉弦」（closed string）。

不論如何，弦可以振動，而不同的振動態會在精密度不佳時被誤認為不同的粒子。

各個振動態的性質，對應到不同粒子的性質。

例如，弦的不同振動能量，會被誤認為不同粒子的質量。

　　弦論特殊的地方之一，是弦的量子場論可能只有一個。

也就是說，當我們考慮弦而非粒子的量子場論時，數學上可能的模型只有一個。

（這件事尚未被完全證實，但至今所有已知的弦論都是等價的。

）這表示，弦論中所有的物理性質，都是理論本身決定的。

如果弦論是對的，電子的質量及電荷等等，都是理論可以告訴我們的。

可惜（幸運？

）的是，弦論是一個還在被研究發展的理論，我們對它的瞭解還不足以讓我們可以計算出電子的質量及電荷等等。

所以，弦論還不是一個完整的理論，當然也沒有被實驗證實。

另一方面，有許多原因，讓研究弦論的人相信，這是一個找尋更基本理論的正確方向。

　　前一段所述弦論的唯一性，是一個非常重要的特質。

如果宇宙萬物都要永遠遵守同一個物理定律，這個物理定律應該是獨特的，而不是任意的。

（雖然標準模型或量子場論中還有許多（（如電子質量等））參數是「任意的」，但其任意的程度已經比牛頓力學小得多。

）一個萬有理論（Theory of Everything, TOE）必須是唯一的，否則它就不是萬有的，因為它不能解釋它為何是這樣而不是那樣。

萬有理論中應該沒有任何自由參數；而弦論即滿足此一性質。

　　弦論的另一個優點是它不需要量子場論所需要的「重整化」。

量子場論的計算中，總是出現一些無限大的量。

本來一個合理的物理定律不應該預測任何無限大的量，但是我們相信，這些無限大的量之所以出現，是因為量子場論不是最基本的理論，而是精確度較差的等效理論。

這樣的認識，告訴我們如何從這些無限大的量中找到有限值的物理量，而其方法，被稱作重整化。

反之，一個基本的理論，不應該有無限大的量，也不需要重整化。

如果追溯量子場論中出現無限大的原因，則發現與它假設了粒子是不具大小的點有關。

弦論中即沒有這種無限大的問題。

　　可能更重要的一個弦論特質是它自動包含了量子重力場。

愛因斯坦的廣義相對論，是重力作用的古典理論，其量子化長久以來是個令人頭痛的問題，也是理論物理裡最主要的問題之一。

如果以量子場論為架構來描述傳遞重力的基本粒子「重力子」，會發現計算中將出現的一些無限大並無法用重整化的方法解決。

（因此標準模型並不包含對重力的描述。

）相反地，一旦假設了弦的存在，便不可避免地在理論上導致了重力作用，原因是弦總是有一個振動態對應到重力子的性質。

愛因斯坦的廣義相對論已經可以從弦論中被推導出來。

弦論是一個還沒有被證實的物理的理論，是理論物理學家講出來，希望能描述所有已知物理現象的一個理論，但是因為它非常複雜，所以我們還沒有辦法計算出任何可以實驗驗證的結果，或者反過來說是，實驗物理學家還沒有辦法做出任何我們理論可以算出來的對應的實驗，反正，理論和實驗這兩邊還沒有辦法湊攏，不過另外一方面弦論裡面的一些性質已經讓物理學家學到一些新的東西。

那麼今天我要講的主題是弦論裡面所告訴我們有關時空中的瞭解的部分。

　　在還沒開始講弦論之前，我必須要先稍微介紹一下標準的物理學已經被實驗驗證的部分，我們如何瞭解時空。

那麼現在已經被實驗驗證的最好的被用來描述時空的理論是愛因斯坦的廣義相對論，廣義相對論是重力的理論，基本的想法就是說時空的彎曲對應到我們平常觀察到的重力，那麼時空的彎曲它包括空間的部分也許是平的，但是加上時間以後是一個彎曲的三加一維的時空這種情形。

那麼時空的彎曲程度或者是它隨時間的變化就是要用愛因斯坦寫下來的廣義相對論的愛因斯坦equation，然後根據能量的跟動量的分佈來決定。

但是在這個理論裡面，雖然說比起牛頓力學裡面我們把時空當作一個固定的背景來描述，比起來是往前跨了一大步，因為時空彎曲的性質是由理論決定的，但是時空的維度和時空其他的性質比如說時空的這種平滑性，我們把時空看成是一個？

，看成是一個連續平滑上面的一些函數，可以被微分的這些。

　　所以基本的性質還是我們假設的。

那麼對基本的理論物理，基本的物理理論來說，希望我們的物理理論可以推出時空它所有的性質，它不是用人為的假設來決定。

那麼弦論雖然說還沒有被實驗驗證，但是之所以會引起很多理論物理學家的興趣的主要原因是它包含了廣義相對論的量子化。

那麼近代物理最主要的兩個發展是廣義相對論跟量子力學，但是很不巧的就是這兩個理論很難放在一起，很難同時描述一個物理現象，是同時有這個量子化的效應跟廣義相對論的效應的。

如果你只是很難以把這兩個理論放在一起的話，你會發現很多無限大、很多沒有辦法解釋的事情。

那麼現在目前大家可以接受可以用來考慮廣義相對論或者是重力的量子化的理論只有兩個，一個就是弦論，還有另外一個理論就不要理他了，因為另外一個理論顯然沒有弦論好，所以我們今天就不談。

那麼它也是唯一一個有可能解釋其他已知物理現象的理論，另外一個理論只是完全只考慮重力的量子化，可是弦論是有可能可以包含所有其他已經觀察到的作用力。

　　這個圖就是怎麼樣用彎曲的時空來解釋重力的一個示意圖，不能夠太嚴肅地看這個圖，這只是一個感覺，有點像是一個沙發的表面，你把它看成是一個二維的空間這樣，然後呢，這個一個重的東西放在這裡的時候讓這個表面彎曲，然後如果旁邊有個彈珠滾過來的話，這個彈珠的軌道就會受到這個重的東西的影響而彎曲。

不過其實這個圖像嚴格來說是錯的，因為我們現在考慮的時空本身之外沒有別的空間，也就是說這個沙發的表面如果是時空的話，它沒有第三維度的空間，其實應該是不存在的，而且其實在這個類比裡面，其實我們是用了地心引力的效果來解釋這個彈珠的彎曲，但是實際上，當然你可以想像就是一個彈珠滾過來的時候，這個彈珠因為某些原因要滾這個最短距離的線的話，要沿著測地線走的話呢，那它也是會走一個彎曲的路徑。

　　那麼一個極端的情形就是中間這個球又小又重，那麼它就有可能會形成一個黑洞，那形成黑洞的時候就是光如果在這個黑洞的？

之內的話，這個裡面的光沒有辦法跑出來，所以看起來這個洞像是黑的，我們把它叫做黑洞。

　　好，前面講的是廣義相對論，所謂能在兩分鐘內講完的廣義相對論。

接下來呢，我們應該就有一些時間可以講弦論。

我們講弦論裡面的時空性質之前，我們先講一下弦論的一般的概念。

弦論的意思就是相對於其他的一般的物理理論，其他的物理理論通常都是想像我們組成物質的基本的東西都是粒子，用粒子去解釋所有我們看到的東西，比如說我們看到的這些東西可能都是由原子所構成的，但是原子又是電子繞著原子核轉，電子在我們現在的實驗驗證的理論裡面是一個基本的粒子，原子核又可以拆成質子跟中子，然後呢，質子跟中子又可以拆成夸克，夸克在現在的理論裡面是被當作基本粒子。

那麼除了這些組成物質是被看成粒子的這個形成的狀態之外，粒子之間的交互作用力，比如說電子和質子之間的靜電作用力，或者其他一般電磁波的電磁場的作用力，這些作用力也被看成是電荷之間交換光子的結果，也就是說呢，你想像有一個電子跑過來的時候呢，它忽然間丟一個光子出去，然後K到一個帶電荷的東西，那這兩個帶電粒子的路徑就被改變了。

　　所以在現在標準的理論裡面，我們用粒子去解釋物質的組成以及物質之間的交互作用。

那弦論的講法是說其實雖然我們現在所有的這些電子、夸克這些東西看起來都像是點粒子，但實際上呢，如果我們有更好的顯微鏡，如果不是大家近視這麼深的話，也許我們會看到這些也許是電子呢，其實是一個小的圈圈或者是一個小的線段，也許不是不是一個點，而是一條線，那麼如果說真的是這樣子的話，你就可以想像如果我們真的是有弦而不是粒子在時空跑來跑去的話，那麼這個弦它除了可以前後跑來跑去之外，它還可以有各種不同的震動的狀態，一根弦可以震動。

那麼當你的實驗設備不夠好的時候，你看到的這個弦看起來還是像個粒子，可是說如果它是以不同的震動態在跑來跑去的話，你在實驗裡面會覺得它像是不同的粒子，比如說它的這個震動的能量呢，可能會被你認為是這個粒子的質量，還有不同的震動態之間的交互作用也會不同，會被你認為是不同的粒子之間有不同的交互作用等等。

所以一旦你假設有弦之後你有可能可以用一種弦去描述所有可能看到的各種粒子，我們可以看到的粒子其實已經非常非常多種了，目前初略的分也有幾十種，所以用一種弦來換幾十種粒子應該是滿好的一件事情。

　　在這裡畫了兩個可能的弦的震動狀態，上面這種叫開弦的，就是兩端是開放的弦，這個圖從左邊往右看是隨著時間增加的，這個弦的照片，所以事實上就是說這裡有一個弦在旋轉，因為它在旋轉，所以有離心力，就會抵抗弦的張力，就會保持一個長度，這是一種可能性。

另外一種閉弦，這個封閉的曲線這種弦，它可以有這種震動狀態，在某一個時刻是這樣子，在下一個時刻是這樣子，然後這樣變，當然還有其他無限多種可能的震動狀態，不過這裡的這兩種震動狀態，它們事實上，你去研究這些震動狀態和其他震動狀態之間的關係，之間的交互作用的話，你會發現上面這個弦看起來其實會像是光子，下面這個弦的震動態看起來就會像是重力作用對應到的重力。

　　 所以弦和一般粒子物理很不一樣的地方就是在粒子物理裡面，如果你想要包含重力作用的話，你通常都會發現重力作用沒有辦法量子化；但是在弦論裡面，一旦你有弦了之後，你就自動包含了重力作用，這個時候，你要把它量子化其實也還是滿難的，但是經過許多物理學家鍥而不捨的努力，最後發現了五種弦論。

也就是我之前我們只是粗略地講，假想有弦這種東西，但是在接下來你還是有很多可能的不同的選擇，一些細節，你在建構弦的理論的時候，有一些細節上的選擇，但是最後我們發現只有五種是自恰的，在數學上面不會計算一個物理現象時得到無限大的這種奇怪的情形。

我們叫做自恰的理論有五種，分別叫做type 1，type 2b等等。

　　那麼根據現在的瞭解，雖然有很長一段時間大家覺得這五種弦論有一點糟糕，因為不知道哪一種是對的，後來大家發現這五種弦論是同一種理論的五種的不同的描述，有點像瞎子摸象的情形，不同的人摸到不同的部位的時候，他看到的東西看起來像是不一樣的，但是其實應該是有一個同一的理論把這五種弦論統一起來的，這種理論我們把它叫做m理論。

　　接下來我們就步入正題，講有關時空的問題。

　　我們先講有關時空維度的問題，因為我剛才提到在廣義相對論裡面，時空的維度是首放進去的，因為我們觀察日常生活以及一般物理實驗裡面的現象，發現我們所處的空間就是三維的，然後我們所感覺得時間是一維的，所以我們通常都說我們活在三加一維的時空裡面。

但是其實愛因斯坦的廣義相對論，你可以很容易的把它推廣到任意空間的情形，時間超過一維總是很難想像那種情形，所以在這裡我就不討論。

那麼在實際的模型的建構當中，我們也沒有找到同時可以量子化，而時間超過一維的理論。

所以今天我只考慮空間的維度的其他可能性，時間一維我們暫時當作還無法處理，或是不證自明的一件事情。

　　 根據弦的理論，我們等一下會談到這五種已經知道的自恰的弦的理論，它們的維度都必須要是九加一維。

　　 我們先看一般的例子，物理的理論。

在三維空間裡面，有一個粒子它的位置要三個參數來表示，然後呢，如果現在你考慮三加一維的時空的話，我就必須要把兩個空間畫在一起，這個Y、Z擠在一起，這個時候一個粒子的軌跡在時空裡面就變成一個一維的曲線。

很自然的問題，就是為什麼時空的維數是三加一？

這個是物理學家奇怪的習慣，他們不講四，他們就喜歡講三加一，好像他們不知道三加一等於四一樣，不過，反正我們現在都這樣講。

有沒有可能說時空的維數不是三加一？

有沒有可能說空間的維度是大於三或是小於三呢？

還有就是我們要怎麼樣定義時空的維度？

這個問題現在看起來有點奇怪，不過等一下也許沒有那麼奇怪。

　　 為什麼空間是三維的？

我小時候就在想這個問題，那我想到呢，如果說如果空間小於三維的話，如果空間只有兩維的話，你很難形成消化系統，就不會有機會來講生物的問題了，因為如果說有一個人他可以吃東西的話，他可以排泄的話，他這兩半很快就分開了，在這種情況底下你也不用穿衣服，因為衣服馬上就變成一條線這樣，如果說這個真的是一個二維的空間的話，好像有這個問題。

不過後來我發現這個argument是一個很傻的argument，因為第一點就是說，其實我還是可以想像有生物消化的過程，一開始只有一個細胞樣的東西在這裡，然後有一個東西跑過來被他吃進去，然後慢慢的變成這個樣子，然後這樣，然後營養被吸收，最後被排出來。

還有呢，就是說通常我們要解釋一件事情的話，其實是要用比較簡單的原則去解釋比較複雜的現象，而不是用比較複雜的現象去解釋比較基本的問題。

那生物基本上，如果你碰到一個生物現象想要瞭解他的話，就是你把它變成一個化學程式的問題，就說你瞭解它，如果化學的問題能變成物理的問題，就說你瞭解它。

但是你不能說如果物理的問題能變成生物的問題的話，你就可以瞭解它，那樣是奇怪的一個想法。

所以後來我就不接受這種說法。

那我們要有一個問題：就是物理的問題要在什麼地方解決才叫被解決呢？

當然就是數學。

　　在弦論裡面呢，如果說我們希望得到一個自恰的弦論，結果發現空間必須要求是九，所以這個也是弦論的一個特點，就是空間的性質是被這個理論的自恰性限制。

那麼為什麼有弦論就要有這個九維空間呢？

這個推導過程大概是這樣，首先你想像有弦這個東西，那這個弦在時空裡面跑出來的軌跡在這裡變成一加一維的曲面而不是一個一維的曲線。

那我們認為在這個弦上面應該有一個對稱性對應到的是弦上面的座標應該是有物理意義的，唯一有物理意義的事這個弦怎麼樣在時空裡面跑，那這個對應到弦的模型裡面的這個對稱性，然後我們把它量子化以後的這個對稱性還是被保持，結果就發現必須要有九維的空間。

　　量子化基本上是一個奇怪的說法，意思就是說過去我們的牛頓力學或者是古典電磁學都是古典的理論，古典的理論裡面所有的物理量在計算的時候都被當作數字，量子化的意思是把你這個古典的理論用一個量子的理論取代，也就是說實際上實驗發現我們並沒有辦法真的用古典理論描述精確的實驗。

實際做物理實驗的測量呢，有可能每一次都測量到不同的結果，雖然說你的準備的方法，你的實驗設計、實驗準備的過程可能完全一樣，但是也許每一次測量的結果都不一樣。

所以後來大家想到一個辦法就是改用一個？

，有點像是一個矩陣去對應到一個物理量，而不是用一個數字去對應到一個物理量把對應到物理量的數字變成？

的過程我們就把它叫做量子化。

當數字變成？

了以後，變成一個像矩陣的東西的時候，你就可以把這個矩陣對角化，然後這個對角的這些數字就當作你在測量的時候有可能會量到的數字。

物理裡面基本上有一個過程是你給我一個古典的理論，我就把它變成對應的量子理論的這個過程，我們把它叫做量子化。

　　一加一維的弦跑出來的這個曲面，你可以給它兩個座標來描述這個曲面上的點。

我們真的在建立一個物理模型的時候，必須要用到這個座標，作為你寫這個方程式的方式。

那這個對稱性呢，我們現在要求的對稱性就是你怎麼樣去選弦上的這一點叫做(1,0)或者是(0,1)，應該跟實際的物理是無關的，這個實驗對稱性。

實際跟物理有關的是這個弦在空間中跟時間中的位置。

這個細節大家不知道沒關係，反正結論就是我們需要九維空間。

　　雖然說我們的空間看起來像三維，但是實際上是不是有可能空間是大於三維，如果不可能的話，我們根本就不必考慮弦論了，因為弦論說它是九維，如果這個不可能的話，我們就不用理它了。

事實上呢，很久以前，在有弦論之前就有人考慮過有可能我們實際的空間是超過三維的，一個類比就是假想有一維的生物，或者嚴格來說有二維的生物，但是它所存在的二維空間是像一個管子一樣，像一個管子的表面一樣的這種外圍的空間，假設這個管子很細的話，而且假設活在這個管子上的生物或者是大部分在管子上的物體都是在管子的截面方向上均勻地分佈的話，那麼對這些管子上面的東西來說，就好像是它們活在一個一維的空間上面一樣。

把它變成三維跟二維的類比的話，就是有兩個三維的空間，但是其中一個方向是被限制在一個很小的範圍上，也許這個很小的距離加上週期的邊界條件，要求所有的物理量都有週期性的性質，那麼這個時候可能很多在這個方向均勻分佈的東西都會以為他們是活在一個二維的空間上。

但是為什麼可以假設大部分的東西都是在這個小的維度上均勻地分佈呢？

這就有量子力學的理論基礎，就是假涉有一個維度很小的話，那麼根據量子力學，這個在很小的維度的方向上面如果有一個物質的質量有變化的話，那麼你總是可以對他分成正弦函數或者餘弦函數的疊加，其中的每一個正弦或餘弦函數呢，它對應到的動量或者是能量會和這裡面出現的幾個週期，這個整數除以額外維度的寬度R，會由這個數字決定。

　　所以當R很小的時候，額外的維度很小的時候，這個動量或能量就會很大，也就是說如果你想要看到不均勻的，在這個小的維度的方向上不均勻的物質分佈的話，你需要用很大的能量才可以看得到。

如果說你不特別提供我很大的能量的話，大部分的東西都很快的朝能量最小的狀態演變，最後大部分你看到的東西都是能量比較小的東西，看起來也就是在這個額外的維度上均勻分佈的東西，所以你就會以為其實你活在一個維度比較小的空間上面。

這種理論我們把它叫做Kaluza-Klein理論，最早是這兩個人提出來的。

　　他們最早想要去做的事情是去考慮五維時空的廣義相對論，因為他們發現廣義相對論在其他的維度也很容易推廣。

結果他們發現如果多出來的第五維，也就是你想像我們活在三加一維的時空裡面，而三加一維的時空裡的每一點又多出來一個很小的圈圈，多出來一個很小的維度的話，那麼這個時候，五維空間裡的廣義相對論事實上看起來會很像是我們看到的大的三加一維裡面的廣義相對論，再加上電磁場的理論。

　　 那麼根據實驗呢，我們現在可以達到的能量最大的實驗，它的能量大概是這個等級，它的數字很小，不過這個意思是說它可以把一個粒子賦予這麼大的能量，所以對一個粒子來說就是很大很大的能量，因為一個粒子的質量通常非常非常小。

那麼根據一個這麼大的能量的實驗，我們可以確定多出來的維度的大小呢，事實上還是很小，十的負十七次方公分的尺度所以事實上有可能我們多出來的第五維、第六維的空間維度，只要這些空間維度小於十的負十七次方公分的話，那麼我們所有的已經有的實驗都沒有辦法分辨到底是不是真的有這些多出來的維度。

　　在這裡是人家畫的兩個比較好的圖，基本上是一樣的意思，這個是多出來的一維，想像這個二維的面是三加一維的時空，然後每一點上多出來一個小圈圈，這就變成是一個五維的時空。

底下這個圖比較怪異，這個是想像平面是對應到三加一維時空，然後在每一點上面還有一個多出來的空間，據說他畫的是Calabi-Yau space，是卡拉比和？

這兩個人，跟他們有關的空間。

根據弦論，因為某些技術上的因素，很多人特別喜歡考慮多出來的空間是Calabi-Yau這種特別的情形。

這個卡拉比？

其實是一個六維的空間，因為我們弦論裡面的空間是九維的，那我們看到的空間是三維的，所以弦論裡面多出來的六維空間必須要縮得很小，我們一般都會想像它是所成Calabi-Yau的樣子。

　　 前面講的是第一種可能性，也就是說也許實際空間大於三的第一種可能性。

時間維度可能大於三的第二種可能性是比較後來才想到的一種可能，是說Brane world的這種可能性。

這個Brane其實不是英文，是從？

這個字「膜」衍生過來的，通常？

是對應到二維空間的？

，但是我們現在考慮也許不是二維空間的subspace，我們就把它叫做Brane。

這個是因為弦論裡面發現一旦你假設有弦之後，我們就必須要選跟剛才講的五種弦論之一，或者是哪一個無所謂，最後你研究這個理論的時候，你就會發現這些弦有可能會形成一種巨觀的狀態，就好像水分子獨立來看是像一個一個點，但是很多水分子，一大堆放在一起變成水以後就可以形成水波或者是其他的巨觀上面的東西。

　　我們發現在弦論裡面有一種巨觀的東西，我們就把它叫做Brane，這個Brane就像是空間裡面的一個subspace，這個subspace的性質是可以讓弦的兩個端點被釘在這個subspace上移動，而沒有辦法離開subspace，事實上你可以想像在這個subspace的這個地方，空間彎曲地太厲害了，然後弦有一半被吸在裡面，只有露出一半來給你看到。

不過不管怎麼樣，就是弦論裡面自然地就會有這種東西出現，這時候有一個可能性，就是其實我們活在一個三維的Brane上面，然後我們看到的物質以及光子等等這些交互作用對應的粒子，其實都是像這種只能夠在Brane上面移動的弦所對應的粒子，也因此當我們用光子或是其他的粒子去探測時空的時候，就好像你只用這些被限制在Brane上面的弦去探測時空一樣，你所探測到的當然就只有三維的空間，其實還有多出來別的空間，但是你沒有探測到。

　　在另外一方面呢，你可以想像這種弦扭來扭去以後，可以變成一個比較短的弦，然後丟出來一個封閉的弦，這個封閉的弦就可以跑到額外的維度上去了。

但是你怎麼知道哪一種粒子可能對應到這種封閉的弦，可以跑出來的？

有一種粒子一定是這樣的，那個就是重粒子，因為重粒子必須要可以對應到整個時空的彎曲，包括多出來的空間。

所以重粒子一定要是，只能是對應到這種可以到處跑出Brane的這種封閉的弦的粒子。

　　但是另一方面呢，我們對重粒子的實驗的精密度比起其他粒子來說還差很多，根據我們最好的重力實驗，所能夠確定的，多出來的維度的大小，我們只能限制它在0.1mm之下，0.1mm這個距離如果你用光子看的話都可以看得到，現在的說法是說你可以用光子在這個Brane上面量到很短很短的距離，像剛剛講的十的負十七次方公分，但是你要對額外的維度測量的時候，你只能夠用重粒子去測量的話，這時候其實你額外的維度可以很大，可以大到這麼大，你都不知道。

但事實上還有一個可能就是根本就是無限大，根本就是沒有限制的，但是只要說額外的維度它的彎曲的程度夠大，使得重力的現象會有被侷限在Brane上面的這種情形也可以。

多出來的維度如果完全是平的話，你在做重力測量的時候，這個重力作用的強度就不會是跟距離平方成反比了，而是根據更高的次方成反比，但是那個假設還是平的，如果很彎的話事實上就有可能它還是跟距離的平方成反比。

　　所以這種新的理論，我們另外叫做Large Extra Dimension，它多出來的維度可以是很大，可以到0.1mm這麼大，也可以是無限大，但是這種只要它夠彎就好。

　　廣義相對論還是可以從弦論裡面推導出來一個近似，弦論不能夠與原來已經知道的理論差太多，只是它被想成是一個更精密的理論，但是過去廣義相對論所告訴你的事情都還是大約是正確的。

　　 今天考慮了兩種空間維度可能大於三的情形，就像我們在考慮空間維度可能會小於三的情形這個看法一開始看你可能會覺得莫名其妙，但是就像剛才這個同學問的，你要怎麼定義維度？

你要先想這個問題。

如果你沒有清楚地定義維度的話，你可以隨便定義一個數字，可以定義D=2.5，那不代表任何意義。

　　在一個物理的理論裡面，物理量比如說弦論裡面的波函數，或者說簡單地想像一些密度的這種的物理量，那麼像這些物理量呢，通常我們都把它想成是時空的函數，比如說空氣的密度在空間中的任一點，不同的時刻可以有不同的密度。

如果說一個物理的理論裡面，所有的物理量都寫成這些東西的函數的話，那麼你看這裡有一個t，然後有D-1個x，然後你就說這是一個D維時空的理論，我們這樣子來定義時空的維度。

但是呢，有沒有一個可能是在某一個理論裡面，所有的這些物理量我把它叫做㩦I，I是所有的物理量的index，它裡面有D個時空座標，但是在另外一個理論裡面，也許只有D'個時空座標，卻讓這兩個理論事實上是等價的，有沒有這個可能？

當然兩個理論是等價的意思就是說，我們對於同一個實驗預測的結果必須要是一樣的，但是這同一個實驗並不需要被解釋成是同一個東西，你可以是由兩個名字不同的函數對應到同一個實驗的結果。

　　所以如果在這裡你只是用物理量來label物理量的參數的數目來定義時空的話，原則上來說反正你有無限多個可以測量的物理量，你有可能有不只一種方法去label所有可以被測量的物理量。

你用不同的方式去label的時候，其實最簡單地想法就是你把其中一個x丟到I裡面去，當作是I的label的一部份，這時候你就等於改變了時空的維度。

所以在這個意義底下呢，時空的維度對應到的其實是一個方便性的問題，你要怎麼樣去label物理量，才會給你一個比較簡單、比較方便的理論。

有可能不同的物理現象要用不同的物理理論來描述才比較方便，所以可能沒有唯一絕對的時空的定義，也許要看你正在考慮的物理問題以及你實際的物理狀態，才能決定到底用哪一個來描述才比較方便，也才能決定時空的維度。

　　 我們在這裡看兩種可能性：第一種可能性是剛才講的一個M理論的東西，跟一種弦論之間的等價的關係。

這兩個理論呢，它們對應到的時空的維度不一樣，一個弦論是對應到九維空間跟一維時間，而M理論呢，我們想像它是有十維空間跟一維時間。

但是如果說我把其中一維空間，給它一個週期性邊界條件的話，然後讓它縮得很小的話，這個時候這兩個理論有可能是等價的。

在M理論裡面，低等的東西不叫string而叫membrane，這是我們叫它M理論的原因之一。

如果你有一個二維的膜，你可以把這個二維的膜繞在圈圈上面，那麼它在剩下來的九加一維時空裡面看起來就會像是一條弦；如果你不把它繞在上面，它看起來會像是剛才講過的Brane。

在這裡你同樣看到的都是membrane，但是我們區分就看它有沒有繞在圈圈上面，我們對應到另外一個理論時可以把它看成是兩種完全不一樣的東西，這兩個理論還是可以等價的，我們對同一個實驗預測的結果，最後你在實驗室的電腦上面看到的數字可以是完全一樣的，雖然說你對實驗發生的過程的解釋可能完全不一樣，但是對最後的數字的描述會完全一樣，這時候我們就說它是等價的。

　　另外一類等價的可能性是一個更奇怪的情形，就是說我們發現有一種弦論，如果它的十維時空是一種特別的情況，我們在這裡把它叫做AdS跟五維球面的乘積的這種奇怪的時空，我們發現它可以用三加一維時空裡面的理論來描述，事實上這兩個理論呢，雖然說它們的維度差很多，但卻是等價的理論。

這個事實上是有些物理學家認為in general，如果你有一個理論包含重力量子化的話，你總是可以用一個比較低維度的理論去描述一樣的現象，這個叫做全像原理Holography。

　　所以第二類跟第一類的差別就在於第一類的理論裡面，兩邊都還有重力作用，但是在第二類的理論裡面，只有一邊有重力作用，維度比較低的那邊沒有重力作用。

不過不管怎麼說，我們在這些例子裡面可以看到，有可能對不同的物理現象、對不同的計算來說，某一個理論是比較方便的，這個時候你可能就會認為時空的維度是不一樣的。

　　這個事情我們重新再說一次的話呢，就是說物理理論告訴你的是可以測量的量之間的關係。

我們有很多物理量，那這些物理量你可以叫它不同的名字。

如果有兩個外星人在這裡看同一個物理現象，他們可能有完全不一樣的描述，但是最後你可以說的是什麼？

最後你可以說的是，他們對於初始狀態來說，他們都是用一組數字去描述初始狀態，然後你如果問他們，經過一段時間演變之後，最後要用同一組數字，同一組測量最後得到的結果來描述末狀態的話，如果這兩組外星人都給你同樣的答案的話，那你有同樣的理論，但是他們會認為他們看到的是完全不一樣的東西。

時空只是看你怎麼樣方便，用你方便的理論裡面來label物理自由度的參數。

　　 另外一個例子是所謂的T-duality。

我們知道有兩個弦論呢，我們如果把其中一個弦論的空間想成是一個八維的空間加上一個縮得很小的一維空間，另外一個弦論是一個八維的空間加上一個比較大的圈圈的話，這時候這兩個理論也可以是等價的。

這時候一個繞在這個圈圈上面的弦呢，會被看成是沿著這個圈圈跑，但是沒有繞著上面的弦；反過來說，沒有繞在這個圈圈上面沿著圈圈跑的弦，會對應到繞在圈圈上的弦。

所以當你用這個理論或這個理論看同一個東西的時候你會有不同的描述。

而這兩個圈圈的半徑的關係剛好是倒數的關係，這個㬱'是弦論裡面的一個常數。

我們之所以把它叫做T-duality就是因為在這個duality裡面，在這個對偶性裡面，這兩個理論它們主要的差別就是它們的空間不一樣，而空間從弦的角度來看是Target Space，你把弦看成是從一加一維時空映射到九加一維時空的map的話，那這個九加一維時空就是Target Space，那麼因為Target Space的對偶性，所以我們把它叫做T-Space。

　　你在數學的研究裡面呢，一個很重要的題目Mirror Symmetry，其實也可以看成是一種T-duality。

Mirror Symmetry本身討論的是不同的空間之間的性質的關係，對於研究弦論的人來說，我們從物理的理論裡面知道，這兩個弦論除了這兩個情形之外，其實還有很多很多其他的情形是你在左邊的弦論裡面有某一種空間，在右邊的弦論理有一種空間，然後你知道它們對同一個量做測量的時候一定會得到一樣的數字，所以有可能對於這個空間來說，你要做一個計算也許很難，但是你把它換成另外一個理論裡面的問題的時候，可能就對應到一個簡單的問題，那時候我們就可以很快地把它解決，然後回來看這個理論裡面計算的結果是什麼。

　　 那麼數學的，有關於空間的，就是用來classify空間的一些性質也對應到一些物理量，所以我們可以利用物理理論，找到不同空間之間的關係，這個可以說是弦論對於數學界的少數貢獻之一，大部分的情況都是物理學家從數學家那邊學東西。

　　在這裡我再舉一個例子來說明時空的定義常常只是方便性的考量。

對於不同的probe，你用不同的東西來探測時空的時候，你會探測到不同的時空。

比如說我們這個圖對應到剛才看到的黑洞的圖，如果你有一個點粒子在這裡的話，它會讓時空的彎曲在這裡有一個singularity，但是這個點真的是無限小的點。

那麼如果另外有一的點粒子掉進來的話，它就「咚」的就掉進來了。

但是如果說你現在考慮的不是一個點，而是某一種很多很多點的共同的震動狀態，這個時候呢，也許它有很大的質量讓這個空間彎曲，可是它就不會形成singularity，它會形成一個平滑的throat，這個時候如果你丟一個粒子進來的話，他就會一直往下掉、一直往下掉，他不會碰到singularity。

在弦論裡面，因為我們有不只一種throat，像我們剛才講，一旦有弦了之後，才會有brane，所以你可以用一個弦去探測一個弦，或者是用一個brane去探測一個弦，或者是用一個弦去探測一個brane，或者是用一個brane去探測一個brane。

然後你就發現如果你用弦去探測弦的話，你會看到類似這種情形，你用brane探測brane的話也會有這種情形。

但是另外兩個情形呢，你就會看到這種情形。

所以就是說同一種弦造成時空的彎曲，在你用不同的probe去看它的時候，其實你會發現這個probe看到的時空彎曲的情形是非常不一樣的。

　　所以我們的時空到底對應到哪裡，就要看我們實際上容易在實驗室裡操控的這些粒子到底對應到的是brane還是弦。

而事實上電子有可能不是對應到一個弦，而是對應到一個brane，也是有這種可能。

　　底下我們再說的有關時空的基本問題，比如說我們通常都想像時空是平滑的連續的，你不會得到有一個地方突然間就不見了；然後我們想像時空是一種點的集合，但是其實還有別的可能，比如說我們剛才講，很多物理量是把它看成是時空的函數的話，你可以考慮如果物理量滿足某一個波方程式的話，當然我們有很多這種例子，它們滿足的是這個前面等於零的這種公式。

可是實際上你真的考慮一個波的演變的話，它通常都不會是exactly，真的是跑得無限遠的這種波，它總是有一些交互作用，所以就會有後面這些非線性的項跑進來。

　　 我們在弦論裡面發現一種情況是，有的時候，它滿足的這個equation剛好可以用一種新定義的乘法來簡單地描述後面這個無限多項的計算，你可以把後面這個無限多項合起來，對應到這個 * product，這個 * product的定義是這樣。

你用 * product去計算兩個座標x乘y減掉y乘x的話，你會發現它不是零，也就是說這個乘法是不可交換的，所以我們叫做非交換幾何。

也就是說你這個空間本來是想像x、y都是數字，它是點的集合，它是連續平滑的空間，但是你的被測量的物理量是要放在另外一個比較奇怪的空間描述的時候，才是最方便的，這樣子的理論是比這樣子的理論要方便很多的。

所以這個時候我們甚至會把時空的參數變成是不可交換的代數算子，它的性質除了不可交換以外，它還是保持原來associative的性質，也就是三個函數用新的乘法相乘的時候，只要前後不變，乘的順序改變是沒有關係的。

　　在這種座標定義出來的空間，你就沒有辦法再把它想成是點的集合了，如果它是點的集合的話，給你一點你就應該要能夠告訴我這一點的x跟y的值。

所以㮸只是一個數字，這個是弦論裡面算出來的，在不同的情況底下有可能算出來是不同的數字。

這個㮸也有可能是x、y的函數，各種情況都有，反正它現在的性質是它不再可以交換，x乘y跟y乘x可以是不一樣。

有人開玩笑把這個叫做pointless geometry。

　　這個問題其實是數學家在之前已經研究了一段時間的問題，也就是非交換空間上的幾何的問題。

一般的點的空間，點的集合所形成的空間呢，它上面的幾何通常都有兩種可能的描述：一種描述就是直接去描述點跟點之間的關係，另一種描述是你去考慮這個空間上的函數所形成的集合，然後這個函數所形成的集合形成一個代數，形成一個乘法關係，兩個函數f乘g會成為一個新的函數h，對於一般點的空間來說，f乘g跟g乘f會剛好是一樣的，所以這個函數所形成的代數會是可以交換的代數。

可是如果你現在想像說我有一個幾何的概念，它可以用點來描述，也可以用函數來描述，這時候我可以忘記它原來用點來定義幾何性質的方式，而我用函數這個概念來定義它的幾何的方式，然後我在定義的時候，我就不要在要求這個函數的乘法可以滿足交換的關係，這個時候我就很自然地把以前已經有的幾何觀念推廣到非交換空間上面，所以大部分的幾何觀念都可以推廣到非交換空間上，包括距離的觀念。

基本上一般的說法就是大約就是你把以前可以交換的這種代數換成不可交換的代數就好了。

　　 函數原來的定義是一點點定義出來的，但是最後我可以只看它的乘法關係。

我們在這裡其實用了一個數學定理，就是對於某些好的空間來說，其實空間上面的函數的乘法其實唯一決定了原來的空間。

這個想法基本上是這樣子：某個人給你一個空間，然後他就找到這個空間上所有的函數，然後他就把一個函數叫1、一個函數叫f2、一個函數叫f3，他不告訴你這個函數到底是怎麼樣對應到空間上的函數，只給它一個抽象的名字，但是他也告訴你f1乘f2等於哪一個東西，所以他最後給你的是一個抽象代數。

這時候你要怎樣找到原來的空間呢？

怎麼樣去找這個代數的max ideal，就是你把它乘來乘去、乘來乘去，這個對應到說，就是你這個函數原來可能是在空間上的某一點，剛好是零，所以你把這個函數去乘任何函數的話乘出來新的函數一定是在原來的同一點：零。

所以所有在同一點是零的函數就形成一個ideal，就是隨便拿別的函數來乘的話，它一定還是在這個集合理面。

所以所有的max ideal的集合就能夠對應到原來的點的集合。

所以如果你告訴我說，這些函數中有哪些函數，然後哪兩個函數靠得比較近的話，我就可以回去找到原來空間的點與點之間的關係，在古典的情況底下，我們就靠這個看函數的乘法而不管原來的點的關係。

但是你一旦相信這個以後，一旦你相信幾何的基本意義只需要看函數來定義的話，那我們就可以不再管這個點的定義了。

　　今天我跟大家提到比較跟數學有關的，一個是Calabi-Yau space，而這個可能是一個題目；還有就是Mirror Symmetry，然後還有就是非交換幾何。

我今天的結論就是說：雖然說弦論是不是正確呢，還很難在短期之內驗證，但是在理論上它已經提供了很好的例子，它提供一些很好的例子說明物理定律有可能怎麼樣去描述時空，有可能怎麼樣去限制時空的維數和性質，而且有可以用什麼樣的角度去瞭解時空的意義。

　　 在這裡我用一個我很喜歡的定理matrix theory的一個圖作為總結。

　　 廣義相對論的部分是跟以前的結果近似，就是我們把以前的結果當作是一個近似，我們現在有更精確的結果，這樣。

粒子物理的部分，理論上來說也是一樣，但是實際上我們還沒有真的能夠計算出可以跟以前的理論對應的結果，比較realistic的狀況的計算對我們來說都還太複雜，因為沒辦法算出來。

所以我們甚至不曉得到底一個電子到底是應該對應到一個弦還是對應到一個brane，連這種我們都不知道。

但是從理論的角度來看，原來已經有的理論肯定是有問題的，因為我們已經有的粒子物理的理論呢，第一個它很難描述重力作用的量子化；第二個就是所有的這些理論裡面都有無限大的問題發生。

那現在的物理學家是用一個奇怪的方法去處理這個無限大的東西，然後經過一套手續以後把這個無限大的東西用一套方法丟掉。

但是這一套方法本身背後的物理意義就是告訴你說，我們現在的物理理論一定是一個低能量裡面近似的描述，它不可能是一個基本的理論。

相對的弦論裡面的計算就是所有合理計算得到的都是有限的，目前我們還沒有發現沒有辦法面對的情形，就是都可以說一個合理的計算結果最後得到的都是有限的，所以弦論有可能是一個基本的理論，而現在有的其他理論是不可能是一個基本的理論。

　　這個要講細節我就不太確定要怎麼講了。

你要先對原來的空間做某些表示，我現在沒有把握把這個原來的定義和條件講清楚。

那這個基本上這個函數應該是一個連續的函數，那我們recover的只是原來的topology，還沒有談到其他的性質，你如果要建立別的性質的話，就還要加別的性質進去。

這裡應該還不需要談論到微分，因為這是compact ？

上面的函數，我們考慮它的連續函數的代數應該是這樣子的，但是我不確定我的對應是完全正確的，因為坦白說我不曉得它在講什麼。

　　其實它事實上不是真的自我相似，所以才會需要？

，也就是說你這個物理並不是真的在？

的改變底下不變。

比如說我們現在考慮凝態物理的問題，我研究一些材料，在比較大的尺度底下，這個桌子、椅子或這些東西看起來都像連續的東西，然後我測量它的性質的時候就會有一些參數。

在我下一次做實驗的時候，我用來測量所有物理量的尺度通通都改變，我原來一個探針的寬度也許是0.1mm，也許我下一次做實驗的時候是0.001mm，再下一次做一個奈米的實驗。

你每一次做實驗的尺度如果都不一樣的話，你用同樣的方式去定義一些參數的話，你會發現這些參數有可能會不一樣，你做實驗的？

不一樣的時候，用同樣的relation定義出來的參數有可能不一樣，那這個對應到？

。

你可能如果說你現在測量的尺度趨近於０的時候會得到無限大，但是我不管它，我就先只看有限尺度的問題，我就告訴你說，在某個有限的尺度的時候，比如說一個奈米的尺度底下測量一個物理量的時候，測量參數的時候要量到這個參數等於1，那所有用更大的尺度，比奈米大的尺度量的時候，它會也許等於1.2啊，也許等於1.5，但是我都知道。

但是你如果問我說用一個比奈米尺度更小的的尺度去測量這個參數的話，也許我就可能量到無限大，我就不知道。

　　 假設說額外的維度，比如說某一個尺度，比如說十的負二十次方公分，如果說我的能量沒有大到可以分辨這麼小的距離的話，那我就看不到這個額外的維度，那我就只看到三維大的空間。

除了這個還有其他brane world的可能。

　　 我們只是用數學的定理給我們一個物理的intuition，幫助我們相信其實我們在定義空間的時候並不一定需要考慮一個點所形成的集合的空間，我們可以考慮非交換的空間，只是這樣子。

那麼空間到底是什麼，就要看哪一個理論在你所考慮的問題裡面最方便，那它的空間有可能是非交換的，有可能是一般的點的集合，有可能是這個空間，有可能是那個空間。

所以並沒有說我們的空間特別一定要是這樣子。

參考資料 http://www.math.ntu.edu.tw/student/graduate/talk/2003/0318.htm
量子力學在地球上可以找到實驗來觀測，但是重力場的量子力學卻無法在地球上觀察到，因此需要很大能量的實驗才能證實重力場的量子力學，利用弦論可以探討黑洞的時間與空間問題～

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